Derivabilità ⇒ Continuità

Matematica — 22 September 2025

📚 Teorema: Derivabilità implica Continuità

(Relazione fondamentale tra derivata e continuità di una funzione in un punto; criteri e classificazione delle discontinuità)

🏛 Context & Background

Nel corso si introduce un teorema fondamentale di analisi elementare: se una funzione è derivabile in un punto allora è necessariamente continua in quel punto. Questo risultato è requisito logico per affrontare la classificazione dei punti di non derivabilità e per distinguere i diversi tipi di discontinuità che una funzione può presentare.

🔑 Key Concepts & Developments

🧠 Differenziabilità (Definizione)
Una funzione f è derivabile in un punto x0 se esiste il limite del rapporto incrementale: lim_{h→0} [f(x0 + h) − f(x0)] / h = f'(x0). (N.B.: nel rapporto incrementale si assume h ≠ 0 prima di passare al limite.)

🔎 Continuità (Definizione)
Una funzione f è continua in x0 se esiste il limite: lim_{x→x0} f(x) = f(x0). Equivalente, usando incremento h: lim_{h→0} f(x0 + h) = f(x0).

➡️ Enunciato del Teorema (forma usata in lezione)
Ipotesi: f è derivabile in x0 (cioè il limite del rapporto incrementale esiste e vale f'(x0)).
Tesi: f è continua in x0 (cioè lim_{x→x0} f(x) = f(x0)).

❗ Nota importante sulla direzione dell'implicazione
Il teorema è unidirezionale: derivabile ⇒ continua. Il contrario non è vero in generale: una funzione può essere continua in un punto senza essere derivabile in quel punto (es. la funzione valore assoluto |x| in 0).

🖼️ Notable Steps della Dimostrazione (sequenza presentata in classe)

Struttura logica: ipotesi → manipolazione algebrica → passaggio al limite → conclusione.

  1. Partiamo dall'ipotesi: esiste f'(x0) = lim_{h→0} [f(x0 + h) − f(x0)] / h.
  2. Per h ≠ 0 si riscrive f(x0 + h) nella forma utile: f(x0 + h) = f(x0) + h · [f(x0 + h) − f(x0)] / h. (si tratta di una semplice scomposizione algebrica del numeratore del rapporto incrementale).
  3. Passando al limite per h → 0 su entrambi i membri: lim_{h→0} f(x0 + h) = lim_{h→0} { f(x0) + h · [ (f(x0 + h) − f(x0)) / h ] }.
  4. Usando le proprietà dei limiti (la costante f(x0) esce dal limite; il prodotto h · (...) ha contributo h → 0 e (...) → f'(x0)): lim_{h→0} f(x0 + h) = f(x0) + (lim_{h→0} h) · (lim_{h→0} [ (f(x0 + h) − f(x0)) / h ]) = f(x0) + 0 · f'(x0) = f(x0).
  5. Conclusione: lim_{h→0} f(x0 + h) = f(x0), quindi f è continua in x0.

Osservazioni tecniche evidenziate in lezione: - È necessario usare h ≠ 0 nella definizione del rapporto incrementale; il passaggio al limite risolve il caso h → 0. - Bisogna applicare correttamente le proprietà dei limiti (somma e prodotto). - In alcune dimostrazioni si fanno “posizioni” intermedie o riscritture algebriche per rendere evidente il termine che tende a zero.

📖 Supporting Details (terminologia, definizioni e classificazioni citate)

  • Rapporto incrementale: [f(x0 + h) − f(x0)] / h.
  • Derivata in un punto: valore limite del rapporto incrementale, denotato f'(x0).
  • Continuità in un punto: lim_{x→x0} f(x) = f(x0) (o equivalentemente lim_{h→0} f(x0 + h) = f(x0)).
  • Ipotesi / Tesi: pratica didattica di scrivere chiaramente l'ipotesi (ciò che si assume) e la tesi (ciò che si dimostra).
  • Attenzione alle variabili di limite: nella dimostrazione si usa convenzionalmente h → 0; evitare confusione cambiando variabili senza precisazione.

Classificazione delle discontinuità (concetti discussi nella lezione): - Discontinuità di prima specie (salto): esistono i limiti destro e sinistro finiti ma diversi; la funzione presenta un salto. (La lezione cita espressamente la "discontinuità di primo tipo / di prima specie" e la chiama "salto".) - Discontinuità con asintoto infinito: uno dei limiti laterali (o entrambi) tende a ±∞; la funzione diverge in quel punto (discontinuità essenzialmente asintotica/infinita). - (Indicazione implicita) Altre tipologie: la lezione fa riferimento al fatto che esistono più categorie quando la continuità fallisce — includono i casi in cui i limiti laterali non esistono o sono oscillatori; in analisi si parla di discontinuità rimovibile, di salto, e di seconda specie/essenziale quando i limiti non esistono o sono infiniti.

Terminologia aggiuntiva citata/docente: - Si è detto che il concetto di "differenziale" non è stato ancora trattato in quel punto del corso (la lezione lo segnala come argomento successivo). - Il docente insiste sulla correttezza del procedimento dimostrativo più che su “posizioni arbitrarie”: a volte, per facilitare la dimostrazione, si fanno sostituzioni o riscritture intermedie, ma devono essere giustificate.

🧩 Connections & Consequences

  1. Collocazione storica/istruttiva:
  2. Il teorema è una pietra miliare del corso di analisi: stabilisce la relazione logica tra due proprietà locali di una funzione (continuità e derivabilità) e prepara alla classificazione dei punti di non derivabilità.
  3. Perché questo è importante:
  4. Sapere che la derivabilità implica continuità permette di escludere rapidamente la derivabilità in presenza di una discontinuità: se un punto è discontinuità, la funzione non può essere derivabile lì.
  5. La distinzione tra tipi di discontinuità è fondamentale per analizzare limiti, derivate e grafici di funzioni reali.
  6. Collegamenti successivi:
  7. Lo studio del differenziale e delle sue proprietà che verrà trattato più avanti dipende dalla comprensione della derivata e della continuità.
  8. Esempi classici e controesempi (uso didattico): |x| è continuo in 0 ma non derivabile in 0 (mostra che il contrario del teorema non vale).
  9. Le classificazioni delle discontinuità si collegano all'analisi dei limiti laterali, agli asintoti e ai comportamenti oscillatori (es.: sin(1/x) in 0).